Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，对称轴是直线x=-2，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；并画出大致图象；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-10x+16=0得其两根为x₁=2，x₂=8，根据题意可写出B（2，0）、C（0，8），由抛物线的对称性可得点A的坐标；
（2）把A，B，C三点坐标代入抛物线解析式即可求得抛物线的解析式．根据解析式求得顶点坐标，所以由顶点、抛物线与坐标轴的交点画出该抛物线的大致图象；
（3）由图象和三角形的面积公式求得△ABC的面积．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），
又∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=-2，
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（-6，0），
∴A、B、C三点的坐标分别是A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）；

（2）∵点C（0，8）在抛物线y=ax²+bx+c的图象上
∴c=8，
将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式y=ax²+bx+8，得

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

，
解得，

a=- 2 3 b=- 8 3

，
∴所求抛物线的表达式为y=-

2

3

x²-

8

3

x+8．
当x=-2时，y=-

2

3

×（-2）²-

8

3

×（-2）+8=

32

3

，
∴该抛物线的顶点坐标是（-2，

32

3

），与坐标轴的交点分别是A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8），
∴其大致图象如图1所示；

（3）如图2，连接AC，BC．
∵AB=8，OC=8，
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×8×8=32，即△ABC的面积是32．

点评：考查了二次函数综合题．解题时，利用了一元二次方程根与系数的关系，抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴；求解析式通常用待定系数法求解．