在矩形ABCD中.AD=12.DC=8.点F是AD边上一点.过点F作∠AFE=∠DFC.交射线AB于点E.交射线CB于点G．(1)如图1.若FG=8$\sqrt{2}$.则∠CFG=90°,(2)当以F.G.C为顶点的三角形是等边三角形时.依题意在图2中补全图形并求BG的长,(3)过点E作EH∥CF交射线CB于点H.请探究:当BG为何值时.以F.H.E.C为顶点的四边形是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．在矩形ABCD中，AD=12，DC=8，点F是AD边上一点，过点F作∠AFE=∠DFC，交射线AB于点E，交射线CB于点G．

（1）如图1，若FG=8$\sqrt{2}$，则∠CFG=90°；
（2）当以F，G，C为顶点的三角形是等边三角形时，依题意在图2中补全图形并求BG的长；
（3）过点E作EH∥CF交射线CB于点H，请探究：当BG为何值时，以F，H，E，C为顶点的四边形是平行四边形．

分析（1）如图1中，作FH⊥CG于H．只要证明△FGH是等腰直角三角形即可；
（2）补全图形，如图2所示．在Rt△FDC中，求出CF即可解决问题；
（3）解法一：过点F作FK⊥BC于点K，如图3．只要证明△FGK≌△EGB即可解决问题；解法二：只要证明BG=BH=x．推出CG=HG=2x．可得x+2x=12，解方程即可；

解答解：（1）如图1中，作FH⊥CG于H．

在Rt△FGH中，FG=8$\sqrt{2}$，FH=CD=8，
∴GH=$\sqrt{F{G}^{2}-F{H}^{2}}$=8，
∴FH=GH，
∴∠GFH=45°，
∵∠AFH=90°，
∴∠AFG=∠DFC=45°，
∴∠GFC=180°-45°-45°=90°．
故答案为90°．

（2）补全图形，如图2所示．

∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=12，∠D=90°．
∵△GFC是等边三角形，
∴GC=FC，∠1=60°，
∵∠2=∠3，
∴∠3=60°，
在Rt△CDF中，DC=8，
∴FC=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴GC=FC=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴BG=12-$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

（3）解法一：过点F作FK⊥BC于点K，如图3．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠5=∠ABC=90°，AD∥BC．
∴∠1=∠3，∠2=∠AFG．
∵∠3=∠AFG，
∴∠1=∠2．
∴FG=FC．
∴GK=CK．
∵四边形FHEC是平行四边形，
∴FG=EG．
∵∠2=∠4，∠FKG=∠5=90°，
∴△FGK≌△EGB．
∴BG=GK=KC=$\frac{12}{3}$=4，
∴当BG=4时，以F，H，E，C为顶点的四边形是平行四边形．

解法二：如图4．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABG=90°，AD∥BC．
∴∠1=∠3，∠2=∠AFG．
∵∠3=∠AFG，
∴∠1=∠2．
∴FG=FC．
∵四边形FHEC是平行四边形，
∴CG=HG，FG=EG，HE=FC．
∴EG=EH．
又∵∠ABG=90°，
∴BG=BH=x．
∴CG=HG=2x．
∴x+2x=12．
∴x=4．
∴当BG=4时，以F，H，E，C为顶点的四边形是平行四边形．

点评本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线解决问题，属于中考压轴题．

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