Question

已知AB∥CD，直线a交AB、CD分别于点E、F，点M在EF上，P是直线CD上的一个动点，（点P不与F重合）．

（1）当点P在射线FD上移动时（如图1），求证：∠PME=∠AEF+∠CPM；
（2）当点P在射线FC上移动时（如图2），∠PME、∠AEF、∠CPM有什么关系？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠AEF，
∵∠PME是△MPF的一个外角，
∴∠PME=∠EFD+∠CPM，
∴∠PME=∠AEF+∠CPM；

（2）解：当点P在射线FC上移动时，∠PME+∠AEF+∠CPM=360°．
理由如下：∵∠PME、∠DFM、∠CPM是三角形的外角，
∴∠PME+∠DFM+∠CPM=360°，
∵AB∥CD，
∴∠DFM=∠AEF，
∴∠PME+∠AEF+∠CPM=360°．
分析：（1）根据两直线平行，内错角相等的性质可得∠EFD=∠AEF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行证明；
（2）先根据三角形的外角和等于360°可得∠PME+∠DFM+∠CPM=360°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DFM=∠AEF，然后代入即可．
点评：本题考查了平行线的性质，三角形的外角和等于360°的性质，熟记性质并仔细分析图形是解题的关键．