Question

如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°．
（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AC=10，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DAB=∠B=30°，得到∠ODA=∠DAB=∠B=30°，再由∠BOD为三角形AOD的外角，利用三角形的外角性质求出∠BOD的度数，在三角形BOD中，利用三角形的内角和定理求出∠BDO为直角，可得出BD垂直于OD，进而确定出BD与圆O相切；
（2）由直径AC的长，求出半径的长，在直角三角形BOD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OB=2OD，求出OB的长，再利用勾股定理即可求出BD的长．

解答：（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，∠DAB=∠B=30°，
∴∠ODA=∠DAB=∠B=30°，
又∠BOD为△AOD的外角，
∴∠BOD=∠DAB+∠ODA=60°，
∴∠ODB=180°-∠BOD-∠B=180°-60°-30°=90°，即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切；

（2）解：∵AC为⊙O的直径，AC=10，
∴OA=OC=OD=5，
又在Rt△OBD中，∠B=30°，
∴OD=

1

2

OB，
∴OB=2OD=10，
则由勾股定理得，BD=

OB2-OD2

=

102-52

=5

3

．

点评：此题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，其中切线的证明方法有两种：有点连接证明垂直；无点作垂线证明垂线段等于圆的半径．