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如图1,在平面上,给定了半径为r的圆O,对于任意点P,在射线OP上取一点P′,使得OP•OP′=r2,这把点P变为点P的变换叫做反演变换,点P与点P′叫做互为反演点.
(1)如图2,⊙O内外各一点A和B,它们的反演点分别为A和B′.求证:∠A′=∠B;
(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形,那么这两个图形叫做互为反演图形.

①选择:如果不经过点O的直线l与⊙O相交,那么它关于⊙O的反演图形是( )
A、一个圆;B、一条直线;C、一条线段;D、两条射线
②填空:如果直线l与⊙O相切,那么它关于⊙O的反演图形是______,该图形与圆O的位置关系是______.
【答案】分析:(1)根据题中给出的条件可得出OB•OB′=OA•OA′=r2,将等积式转换为比例式后即可得出△OAB和△OBA相似,由此可证得所求的条件.
(2)①应该是一个过O点过两个交点的圆,反演图形中圆和直线都看成圆的话,结论会很简单,一个圆关于⊙O反演图形仍然是圆,这时直线可以看成圆心无限远半径无限大的圆,
根据OP•OP′=r2知:
⊙O外的点的反演点在⊙O内;
⊙O内的点的反演点在⊙O外;
⊙O上的点的反演点在⊙O上;
直线与⊙O相交的点的反演点还是该点,
直线上的无穷远处的点反演到圆心,
于是三点确定一个圆.
②如果直线l与⊙O相切,那么它关于⊙O的反演图形是过切点和O点的圆,该图形与圆O的位置关系是内切,既然直线只与⊙O有一个交点,那么反演图形与⊙O只有一个交点,即相切.
直线l上有无限远点,于是反演图形过⊙O,于是反演图形为⊙O的内切圆.
解答:解:(1)由题意知:OA•OA′=OB•OB′=r2
∵∠AOB=∠B′OA′,
∴△AOB∽△B′OA′,
∴∠A′=∠B,

(2)①选择A;
②圆;内切.
点评:本题定义三个概念即反演变换、反演点、反演图形.第一问的求解,是在理解题意的基础上直接引用,把等积式转换为比例式.第二问的求救,则需从特殊到一般的分析、归纳、猜想,其中还渗透着无限逼近的思想.
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