Question

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，且BE边平分∠ABC，则以下命题不正确的是⑤
①BC+AD=AB；②E为CD中点；③∠AEB=90°；④S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}；
⑤BC=CE．

Answer 1

分析 根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠BAD=180°，又BE、AE都是角平分线，可以推出∠ABE+∠BAE=90°，从而得到∠AEB=90°，然后延长AE交BC的延长线于点F，先证明△ABE与△FBE全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE=EF，然后证明△AED与△FEC全等，从而可以证明①②③④正确，AB与CD不一定相等，所以⑤不正确．

解答 解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ABC）=90°，
∴∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE）=180°-90°=90°，
故③小题正确；
延长AE交BC延长线于F，
∵∠AEB=90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
在△ABE与△FBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠FBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠FEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB=BF，AE=FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠F，
在△ADE与△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠F}\\{AE=FE}\\{∠AED=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD=CF，
∴AB=BC+CF=BC+AD，故①小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE=DE，即点E为CD的中点，故②小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴S_△ADE=S_△FCE，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABF，
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABE，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，故④小题正确；
若AD=BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC=CE，
∵BD与BC不一定相等，
∴BC与CE不一定相等，故⑤小题错误．
综上所述，不正确的有⑤共1个．
故答案为：⑤．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE⊥AF并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高．