Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋4ax＋c（a＜0）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，DH⊥x轴于H与AC交于点E．连接CD、BC、BE．若S△CBE∶S△ABE＝2∶3，

（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）连结BD，是否存在数值a，使得∠CDB＝∠BAC？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由；

（3）若AC恰好平分∠DCB，求二次函数的表达式．

Answer 1

【答案】（1） (－5，0)；(1，0)；（2）不存在；理由见解析；（3）y＝－x2－x＋

【解析】

（1）由 可得，即可求得，求出设直线EC的函数解析式为，求出A（-5，0），利用A、B关于抛物线对称轴对称即可得出B（1，0）；

（2）求出OC＝－5a，DH＝－9a，可得tan∠BAC＝＝－a，过点B作BF⊥BD交DC延长线于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，由△BFG∽△DBH，利用相似三角性质可求得，由 ，求得a=0，故不存在；

（3）连结AD，可得S△ACD＝S△ABC，由AC平分∠DCB，可得CD＝BC，列出方程，求得a＝，即可得出答案．

（1）∵y＝ax2＋4ax＋c

∴抛物线的对称轴为x=-2

依题意得C（0，c）

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴

设直线EC的函数解析式为

∴

∴

∴

当y=0时，

∴x=-5

∴A（-5，0）

∵A、B关于直线x=-2对称

∴B（1，0）

故答案为：A(－5，0)，B(1，0)

（2）将B（1，0）代入表达式得，c＝－5a，

∴OC＝－5a，DH＝－9a

∴tan∠BAC＝＝－a

过点B作BF⊥BD交DC延长线于点F，

过点F作FG⊥x轴于点G

△BFG∽△DBH

∴＝tan∠BAC

＝tan∠BAC＝－a

∴

∵ ，

∴，a＝0，

∴不存在

（3）解：连结AD，EH＝OC＝－3a，

∴S△ACD＝·DE·（xC－xA） ＝－15a

S△ABC＝·AB·OC ＝－15a，

∴S△ACD＝S△ABC

∵AC平分∠DCB，

∴CD＝BC

∴4＋16a2＝1＋25a2

解得，a1＝－，a2＝

∵a＜0，

∴a＝

∴y＝－x2－x＋