【题目】如图,已知CB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,点A为CD延长线上一点,BC=AB,∠CAB=30°.
(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,求的长.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】解:(1)证明:如图,连接OB,
∵BC=AB,∠CAB=30°,∴∠ACB=∠CAB=30°。
又∵OC=OB,∴∠CBO=∠ACB=30°。
∴∠AOB=∠CBO+∠ACB=60°。
在△ABO中,∠CAB=30°,∠AOB=60°,∴∠ABO=90°,即AB⊥OB。
∴AB为圆O的切线。
(2)∵OB=2,∠BOD=60°,
∴的长度=。
(1)连接OB,如图所示,由BC=AB,利用等边对等角得到一对角相等,由∠CAB的度数得出
∠ACB的度数,再由OC=OB,利用等边对等角得到一对角相等,确定出∠CBO,由外角的性质求出∠AOB的度数,在△AOB中,利用三角形的内角和定理求出∠ABO为90°,可得出AB为圆O的切线。
(2)直接应用弧长公式计算即可。
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.
(1)若∠A=40°,求∠EBC的度数;
(2)若AD=5,△EBC的周长为16,求△ABC的周长.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC.则下列结论:①abc>0;②9a+3b+c>0;③c>﹣1;④关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为﹣;⑤抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<2<x2,且x1+x2>4,则y1>y2.其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形沿AC折叠,使点B与点E重合,AD与EC相交于点F.
(1)求证:AF=CF;
(2)求△AEF的面积.
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【题目】如图1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点E在AC上(且不与点A、C重合).在△ABC的外部作等腰Rt△CED,使∠CED=90°,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.
(1)求证:△AEF是等腰直角三角形;
(2)如图2,将△CED绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,连接AE,求证:AF=AE;
(3)如图3,将△CED绕点C继续逆时针旋转,当平行四边形ABFD为菱形,且△CED在△ABC的下方时,若AB=2,CE=2,求线段AE的长.
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【题目】已知在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,点D从点B出发沿射线BC方向移动.在AD右侧以AD为腰作等腰直角△ADE,∠DAE=90°.连接CE.
(1)求证:△ACE≌△ABD;
(2)点D在移动过程中,请猜想CE,CD,DE之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AC=,当CD=1时,结合图形,请直接写出DE的长 .
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【题目】如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AB=3BD,BE=CE.设△ADF的面积为S1,△CEF的面积为S2,若,则S1-S2的值为_____.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b分别交y轴、x轴于C、D两点,与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(m,8),B(4,n)两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出kx+b﹣<0的x的取值范围;
(3)求△AOB的面积.
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