Question

12．如图，抛物线与 轴交于A（6，0）、D （-2，0）两点，与y轴交于点B（0，6），C为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC与△BOD是否相似；
（3）作CE⊥y轴于点E，F为y轴上一点（在点E的下方），且tan∠ECF=$\frac{1}{2}$，判断直线CF与△ABC外接圆的位置关系；
（4）在（3）的条件下，若点G为△ABC外接圆上一动点，OP是△FOG中线，求OP的最大值．

Answer 1

分析 （1）将抛物线的解析式设为交点式，再将B点坐标代入；
（2）先证△ABC是直角三角形，再验证对应线段是否成比例即可．
（3）求出CF、AF、AC的长度，得出CF与AC是垂直的，又根据（2）知AC是直径，从而CF是切线．
（4）由于P是FG的中点，G又在三角形ABC外接圆上，因此可设出P点坐标，然后表示出点G坐标，利用点G到三角形外接圆圆心的距离为2$\sqrt{5}$，得到关于P点的轨迹方程，发现P点到一个定点N的距离是一个定值，也就是说P的轨迹是一个圆，由此利用三角形三边形关系OP≤ON+NP求出OP最大值．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-6），
将B（0，6）代入抛物线的解析式可求得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-6）（x+2）=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6$=$-\frac{1}{2}（x-2）^{2}+8$；
（2）如图1，连接AB、BC、AC，

∵A（6，0），B（0，6），C（2，8），
∴AB=6$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，AC=4$\sqrt{5}$，
∴∠ABC=90°，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}=\frac{DO}{BO}$，
∴△ABC∽△BOD；
（3）如图2，

∵tan∠ECF=$\frac{1}{2}$，
∴EF=1，CF=$\sqrt{5}$，
∴OF=7，
∴AF=$\sqrt{85}$，
∴CF²+AC²=AF²，
∴CF⊥AC，
∵AC是△ABC外接圆直径，
∴CF是△ABC外接圆切线．
（4）设P（x，y），如图3，

∵OP是中线，即P是FG中点，
∴G（2x，2y-7），
G在△ABC外接圆上，且直径AC=4$\sqrt{5}$，圆心为（4，4），
∴（2x-4）²+（2y-7-4）²=20，
即（x-2）²+（y-$\frac{11}{2}$）²=5，
说明点P到定点（2，$\frac{11}{2}$）的距离为定值$\sqrt{5}$，记该定点为N，
则OP≤ON+NP，
∵ON=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{11}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{137}}{2}$，NP=$\sqrt{5}$，•
∴OP≤$\frac{\sqrt{137}}{2}$+$\sqrt{5}$，
∴当ONP三点共线时，且N在O、P之间时，OP取得最大值$\frac{\sqrt{137}}{2}$+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆的切线的判定、中点坐标公式、两点间的距离公式、三角形三边关系等众多知识点，综合性很强，难度较大．对于第（4）问，得出P点在一个圆上是解决问题的关键．