Question

1．如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC，点O是△ABC的内角平分线的交点，AO的延长线交BC于点D，OE⊥BC于点E．
（1）若∠BAC=90°，①求∠BOC的度数；
②如果∠DOE=15°，求∠EOC的度数．
（2）设∠OBC=m，∠OCB=n，求∠DOC．（用m，n表示）

Answer 1

分析 （1）①由三角形的内角和得到∠ABC+∠ACB=90°，根据角平分线的性质得到∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，于是得到∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=45°，即可得到结论；②由O是△ABC的三内角平分线的交点，得到∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB，推出∠BOD=∠BAO+∠ABO=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，根据三角形的内角和和角平分线的性质得到∠EOC=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，即可得到结果；
（2）根据已知条件得到∠BOE=90°-m，∠COE=90°-n，由于∠BOD=∠COE，即可得到结论．

解答 解：（1）①∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=135°；
②∵O是△ABC的三内角平分线的交点，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠OEC=90°，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠EOC=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOD=∠EOC=$\frac{1}{2}$（135°-15°）=60°；

（2）∵OE⊥BC，
∴∠BEO=∠CEO=90°，
∵∠OBC=m，∠OCB=n，
∴∠BOE=90°-m，∠COE=90°-n，
∵∠BOD=∠COE，
∴∠COD=∠COE+∠DOE=∠BOD+90°-m-∠BOD=90°-m．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．