分析 (1)由题意可知抛物线的对称轴为x=8,然后设出抛物线的顶点式,然后将C点坐标和点A的坐标代入求解即可;
(2)由于DE是⊙A的切线,连接AE,那么根据切线的性质知AE⊥DE,在Rt△AED中,AE、AB是圆的半径,即AE=OA=AB=4,而A、D关于抛物线的对称轴对称,即AB=BD=4,由此可得到AD的长,进而可利用勾股定理求得切线DE的长;
(3)若△BFD与EAD△相似,则有两种情况需要考虑:①△AED∽△BFD,②△AED∽△FBD,根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF的长.
解答 解:(1)∵A(4,0),⊙A与y轴切于原点,
∴⊙A的半径为4.
∴点B的坐标为为(8,0).
设抛物线的解析式为y=a(x-8)2+k;
∵抛物线经过点A(4,0)和C(0,12),
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+k=0}\\{64a+k=12}\end{array}\right.$,
解得:a=$\frac{1}{4}$,k=-4.
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$(x-8)2-4.
(2)如图1所示:连接AE.
∵DE是⊙A的切线,
∴∠AED=90°,AE=4,
∵直线l是抛物线的对称轴,点A,D是抛物线与x轴的交点,
∴AB=BD=4,
∴AD=8;
在Rt△ADE中,DE2=AD2-AE2=82-42=48,
∴DE=4$\sqrt{3}$.
(3)如图2所示:当FB⊥AD时,连结AE.
∵∠AED=∠FBD=90°,∠ADE=∠FDB,
∴△AED∽△FBD,
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{DE}{BD}$即$\frac{4}{BF}=\frac{4\sqrt{3}}{4}$.
解得:BF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
如图3所示:当BF⊥ED时,连结AE、过点B作BF⊥DE,垂足为F.
∵∠AED=∠BFD=90°,∠ADE=∠BDF,
∴△AED∽△BFD,
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AD}{BD}$即$\frac{4}{BF}$=$\frac{8}{4}$.
∴BF=2.
综上所述,BF的长为2或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
点评 此题主要考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、二次函数的对称性、勾股定理以及相似三角形的性质等重要知识,当相似三角形的对应边和对应角不明确的情况下,分类讨论是解题的关键.
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A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{3}{8}$ | D. | $\frac{4}{7}$ |
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