Question

【题目】如图，已知，，，．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点，连结，交线段于点，如果以，，为顶点的三角形与相似，则线段的长为________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

如果△ADN和△BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意．因此本题分①当∠ADN=∠BME时和②当∠AND=∠BEM时，两种情况解答即可．

因为如果△ADN和△BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论．

图1，当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，∴tan∠ADB=tan∠BEM．

作DF⊥BE，垂足为F，可得四边形ABFD为矩形，则AB=DF，设BE=x，

∵tan∠ADB= AB：AD，tan∠BEM =DF：FE，

∴AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．

即2：4=2：（x-4）．

解得x=8．

即BE=8．

②如图2，当∠ADB=∠BME，

而∠ADB=∠DBE，

∴∠DBE=∠BME，

∵∠E是公共角，

∴△BED∽△MEB，

∴，即BE2=DEEM，

∵M是线段DE的中点，

∴EM=DE,

设BE=x，结合图1，根据勾股定理可得：

∴= [22+（x-4）2]，

∴x1=2，x2=-10（舍去），

∴BE=2．

综上，线段BE的长为8或2，

故答案为8或2．