Question

要使方程x⁴+（m-4）x²+2（1-m）=O恰有一个不小于2的实根，那么m的取值范围是

m≤-l

．

Answer 1

分析：首先设y=x²，将四次方程转化为二次方程：y²+（m-4）y+2（1-m）=0，然后设f（y）=y²+（m-4）y+2（1-m），由判别式△可得此二次方程有两个不等的实数根，又由开口向上与方程x⁴+（m-4）x²+2（1-m）=O恰有一个不小于2的实根（即方程y²+（m-4）y+2（1-m）=0恰有一个不小于4的实根），即可得f（4）≤0，即可得不等式16+4（m-4）+2（1-m）≤0，解此不等式即可求得m的取值范围．

解答：解：设y=x²，
则原方程为：y²+（m-4）y+2（1-m）=0，
设f（y）=y²+（m-4）y+2（1-m），
∴△=（m-4）²-8（1-m）=m²-8m+16-8+8m=m²+8＞0，
∴方程y²+（m-4）y+2（1-m）=0有两个不等实根，且开口向上，
∵方程x⁴+（m-4）x²+2（1-m）=O恰有一个不小于2的实根，
∴方程y²+（m-4）y+2（1-m）=0恰有一个不小于4的实根（图象如草图），
∴f（4）=16+4（m-4）+2（1-m）≤0，
解得：m≤-1．
∴m的取值范围是m≤-l．
故答案为：m≤-l．

点评：此题考查了一元二次方根的分布，函数的性质与一元一次不等式的解法．此题难度较大，解题的关键是掌握函数思想与数形结合思想的应用，还要注意二次函数的性质的灵活应用．