Question

【题目】若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2 ， 则x1（x2+x1）+x22的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根， 则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，
∴m≤ ，
∵x1（x2+x1）+x22
=（x2+x1）2﹣x1x2
=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）
=3m2﹣3m+2
=3（m2﹣m+ ﹣ ）+2
=3（m﹣ ）2 + ；
∴当m= 时，有最小值 ；
∵ ＜ ，
∴m= 成立；
∴最小值为 ；
所以答案是： ．
【考点精析】关于本题考查的根与系数的关系和二次函数的最值，需要了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a才能得出正确答案．