Question

6．设三角形ABC的三边BC、CA、AB长度分别为a、b、c．
（1）比较b²+2ac与a²+c²的大小；
（2）证明：关于x的方程$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x}$+a²+c²-b²-2ac=0不存在满足1＜x₀＜2的实数根x₀；
（3）公式一：“△ABC三内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则其面积为S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$casinB”，我们称其为正弦定理的面积公式；公式二：“sin2θ=2sinθcosθ“，我们称其为二倍角公式，以上两公式中角在0°-180°时均成立，根据以上公式：设△ABC中，∠A=2θ，∠A的平分线交BC于P，AP=m，请由此推导角平分线段长度公式（即用b，c，θ表示出m），并写出过程．

Answer 1

分析 （1）令x=b²+2ac，y=a²+c²根据三角形的三边关系即可得到结论；
（2）根据（2）的结论化简等式即可得到结论；
（3）过p作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，根据三角形的面积公式和题目中的公式即可得到结论．

解答 解：（1）令x=b²+2ac，y=a²+c²，
∴x-y=（b²+2ac）（a²+c²）=b²-（a²+c²-2ac）=b²-（a-c）²=（b+a-c）（b-a+c），
∵三角形两边之和大于第三边，
∴b+a-c＞0，b-a+c＞0，
∴x-y＞0，
∴b²+2ac＞a²+c²；
（2）∵b²+2ac＞a²+c²，
∴（a²+c²）-（b²+2ac）＜0，
∵$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x}$+a²+c²-b²-2ac=0，
∴$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x}$＞0，
当1＜x₀＜2时，x＞0，x²-3x+2=（x-1）（x-2）＜0，$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x}$＜0，
∴关于x的方程$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x}$+a²+c²-b²-2ac=0不存在满足1＜x₀＜2的实数根x₀；
（3）过p作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin2θ=$\frac{1}{2}$c•PD=$\frac{1}{2}$b•PE，
∵∠BAC=2θ，AP是角平分线，
∴∠BAP=∠CAP=θ，
∴sinθ=$\frac{PD}{m}$，
∴PD=PE=sinθ•m，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin2θ=$\frac{1}{2}$c•sinθ•m+$\frac{1}{2}$b•sinθ•m=$\frac{1}{2}$sinθ•m（b+c），
∵sin2θ=2sinθcosθ，
∴m=$\frac{2bccosθ}{b+c}$．

点评 本题考查了三角形的三边关系，完全平方公式，三角函数，角平分线的性质，正确的运用公式是解题的关键．