Question

【题目】如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．点D是BC边上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则BD的长为_____．

Answer 1

【答案】5或

【解析】

分两种情况画图说明，①根据△ABD是准互余三角形，可以证明AD是∠BAC的平分线，根据勾股定理即可求出BD的长；②可以根据△ABD是准互余三角形，证明△CAD∽△CBA，对应边成比例即可求出CD的长，进而求出BD的长．

解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB==10．

①如图1，

∵△ABD是准互余三角形，

∴∠B+2∠BAD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠BAC=90°，

∴∠BAC=2∠BAD，

∴AD是∠BAC的平分线，

作DE⊥AB于点E，

则DC=DE，AE=AC=6，

设DC=DE=x，则BD=8﹣x，

BE=AB﹣AE=4，

在Rt△BDE中，根据勾股定理，得

BD2=DE2+BE2，

(8﹣x)2=x2+42，

解得x=3，

∴BD=BC﹣CD=8﹣3=5；

②如图2，

∵△ABD是准互余三角形，

∴2∠B+∠BAD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠DAC=∠B，

∵∠C=∠C，

∴△CAD∽△CBA，

∴，

∴CD=，

∴BD=BC﹣CD=8﹣=．

综上所述：BD的长为5或．

故答案为：5或．