Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H（1）求证：AH=HD；（2）若cos∠C =，DF=9，求⊙O的半径.

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，DE=EC，
∴AB⊥CD，∴∠C+∠CBE=90°，
∵EG⊥BC，∴∠C+∠CEG=90°，
∴∠CBE=∠CEG，
∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，
∴∠CDA=∠DEH，∴HD=EH，
∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，
∴AH=EH，∴AH=HD；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∴∠BDF=90°，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠DBF=∠C，
∵cos∠C =，DF=9，
∴tan∠DBF=    ，∴BD=DF   
tan∠DBF =12，∵∠A=∠C，
∴sin∠A=，∴AB=BD   ∴⊙O的半径为10．