Question

3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：
（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．
（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，由角的互余关系得出∠BAE=∠CEF，即可证出△ABE∽△ECF；
（2）由（1）的结论和已知条件得出BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，DF=3a，由勾股定理和勾股定理的逆定理得出△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，得出$\frac{AE}{EF}=\frac{AB}{BE}$，证出△AEF∽△ABE，即可得出结论．

解答 解：（1）相似，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）△ABE∽△ECF∽△AEF，理由如下：
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
由（1）得：
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{CE}$=2，
∴BE=CE=2CF，
设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，
∴DF=3a，
∴AE²=（4a）²+（2a）²=20a²，EF²=（2a）²+a²=5a²，AF²=（4a）²+（3a）²=25a²，
∵$\frac{AE}{EF}=\frac{\sqrt{20{a}^{2}}}{\sqrt{5{a}^{2}}}$=2，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AB}{BE}$，
又∵∠AEF=∠B=90°，
∴△AEF∽△ABE，
∴△ABE∽△ECF∽△AEF．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定方法，运用勾股定理进行计算是解决（2）的关键．