Question

如图，已知抛物线y=mx²+nx+p与y=x²+6x+5关于y轴对称，与y轴交于点M，与x轴交于点A和B．
（1）求出y=mx²+nx+p的解析式，试猜想出与一般形式抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式（不要求证明）；
（2）若A，B的中点是点C，求sin∠CMB；
（3）如果过点M的一条直线与y=mx²+nx+p图象相交于另一点N（a，b），a≠b且满足a²-a+q=0，b²-b+q=0（q为常数），求点N的坐标．

Answer 1

分析：（1）可先求出抛物线y=x²+6x+5的顶点坐标，然后根据两抛物线关于y轴对称得出所求抛物线的顶点，可用顶点式二次函数通式来设所求的抛物线的解析式，然后将两函数与y轴的交点M的坐标代入所求的抛物线中即可得出其解析式．
两抛物线关于y轴对称，其开口方向，开口大小以及与y轴的交点都一样，因此a、c的值不变，而两函数的对称轴关于y轴对称，因此b值互为相反数，因此与一般形式抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式为y=ax²-bx+c．
（2）本题要先求出A、B、M的坐标，过C作CD⊥BM于D，那么关键是求出CD和MC的长，可在直角三角形CDB中，用BC的长和∠MBA的正弦值求出CD的长，然后在直角三角形OCM中，根据勾股定理求出CM的长，据此可得出sin∠CMB的值．
（3）可设直线的解析式为y=kx+5；由于N是两函数的交点，因此可联立两函数的解析式，用k表示出a，b的值，由题意可知a，b为方程x²-x+q=0的两根，根据韦达定理可知a+b=1，由此可求出k的值，然后将k的值代入表示a，b的式子中即可求出N点的坐标．

解答：解：（1）y=x²+6x+5的顶点为（-3，-4），
即y=mx²+nx+p的顶点的为（3，-4），
设y=mx²+nx+p=a（x-3）²-4，
y=x²+6x+5与y轴的交点M（0，5），
即y=mx²+nx+p与y轴的交点M（0，5）．
即a=1，
所求二次函数为y=x²-6x+5．
猜想：与一般形式抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式是y=ax²-bx+c．

（2）过点C作CD⊥BM于D．
抛物线y=x²-6x+5与x轴的交点A（1，0），B（5，0），与y轴交点
M（0，5），AB中点C（3，0）．
故△MOB，△BCD是等腰直角三角形，CD=

2

2

BC=2．
在Rt△MOC中，MC=

34

．
则sin∠CMB=

CD

MC

=

17

17

．

（3）设过点M（0，5）的直线为y=kx+5

y=kx+5 y=x2-6x+5

，
解得

x1=0 y1=5

x2=k+6 y2=k2+6k+5

则a=k+6，b=k²+6k+5．
由已知a，b是方程x²-x+q=0的两个根，
故a+b=1．
即k+6+k²+6k+5=1，化简k²+7k+10=0，
则k₁=-2，k₂=-5．
点N的坐标是（4，-3）或（1，0）．

点评：考查一元二次方程根与系数的关系、二次函数解析式的确定、轴对称图形、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．