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    17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）2-4a（a＞0）交x轴于A、B两点，点A在点B的左边，其顶点为点C，一条开口向下的抛物线经过A、B、D三点，其顶点D在x轴上方，且其纵坐标为3，连接AC、AD、CD．
    （1）直接写出A、B两点的坐标；
    （2）求经过A、B、D三点的抛物线所对应的函数表达式；
    （3）当△ACD为等腰三角形时，求a的值；
    （4）将线段AC绕点A旋转90°，若点C的对应点恰好落在（2）中的抛物线上，直接写出a的值．

    分析 （1）根据点的特点，令y=0，求出方程的解，即可；
    （2）根据抛物线解析式确定出点C，D的坐标和对称轴方程，再设出所求解析式即可．
    （3）△ACD为等腰三角形时，分三种情况计算：①以CD为底时，则C，D关于x轴对称，建立方程求解，②以AC为底时，则AD=CD，建立方程求解，③以AD为底时，则AC=CD，建立方程求解即可．
    （4）先表示出直线AC的解析式为y=-2ax-2a，从而求出直线l与抛物线的交点M（$\frac{9a-2}{3a}$，$\frac{6a-1}{3{a}^{2}}$），然后表示出AM，AC建立方程即可．

    解答 解：（1）令y=0，
    ∴a（x-1）2-4a=0，
    ∵a＞0，
    ∴（x-1）2-4=0
    ∴x1=-1，x2=3，
    ∴A（-1，0），B（3，0），
    （2）∵y=a（x-1）2-4a，
    ∴抛物线的顶点C（1，-4a），对称轴为x=1，
    ∴D（1，3），
    设经过A，B，D三点的抛物线解析式为y=m（x-1）2+3，
    ∴m=-$\frac{3}{4}$，
    ∴经过A，B，D三点的抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$（x-1）2+3=-$\frac{3}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$，
    （3）当△ACD为等腰三角形时，分三种情况计算，
    ①以CD为底时，则C，D关于X轴对称，
    ∴C（1，-3），
    ∴-4a=-3，
    ∴a=$\frac{3}{4}$，
    ②以AC为底时，则AD=CD，
    根据勾股定理得，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
    ∴CD=2-（-4a）=3+4a=$\sqrt{13}$，
    ∴a=$\frac{\sqrt{13}-3}{4}$；
    ③以AD为底时，则AC=CD，
    根据勾股定理得，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{4{a}^{2}+1}$，
    ∴CD=3-（-4a）=2$\sqrt{4{a}^{2}+1}$，
    ∴a=-$\frac{5}{24}$＜0（舍）；
    （4）由（1）知，A（-1，0），C（1，4a），AC=2$\sqrt{4{a}^{2}+1}$，
    ∴直线AC的解析式为y=-2ax-2a，
    设线段AC绕点A旋转90°得到的直线为l，
    ∴l⊥AC且过点A，
    ∴直线l解析式为y=$\frac{1}{2a}$x+$\frac{1}{2a}$，
    ∵抛物线y=-$\frac{3}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$，
    ∴3ax2+（2-6a）x+2-9a=0，
    ∴x1=1（舍），x2=$\frac{9a-2}{3a}$，
    ∴直线l与抛物线的交点M（$\frac{9a-2}{3a}$，$\frac{6a-1}{3{a}^{2}}$），
    ∴AM=|6a-1|×$\frac{\sqrt{4{a}^{2}+1}}{3{a}^{2}}$，
    ∵AM=AC，
    ∴2$\sqrt{4{a}^{2}+1}$=|6a-1|×$\frac{\sqrt{4{a}^{2}+1}}{3{a}^{2}}$，
    ∴6a2=|6a-1|
    当6a-1≥0时，6a2=6a-1，
    ∴a=$\frac{3±\sqrt{3}}{6}$，
    当6a-1＜0时，6a2=1-6a，
    ∴a=-3±$\sqrt{3}$（舍），
    即：a1=$\frac{3+\sqrt{3}}{6}$，a2=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$．

    点评 此题是二次函数综合题，主要考查了求特殊点的坐标的方法，用方程的思想解决问题，还用到勾股定理，解本题的关键是用方程的思想．

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