【答案】
分析:(1)由于一元二次方程
有两个相等的实数根,根据判别式的意义得到(-2
p)
2-4×5×5q=0,则6p
2-25q=0,即p
2=
q,且q>0,再计算方程x
2+px+q=0的△=p
2-4q=
q-4q=
q,由q>0得到△>0,可判断方程x
2+px+q=0有两个不相等的实数根;
(2)由6p
2-25q=0得q=
,代入方程x
2+px+q=0整理得到25x
2+25px+6p
2=0,即(5x+3p)(5x+2p)=0,由于|x
1|<|x
2|,则x
1=-
,x
2=-
,即可得到两根的比值.
解答:证明:(1)∵一元二次方程
有两个相等的实数根,
∴(-2
p)
2-4×5×5q=0,
整理得6p
2-25q=0,即p
2=
q,且q>0,
∴对于方程x
2+px+q=0,△=p
2-4q=
q-4q=
q,
∵q>0,
∴△>0,
∴方程x
2+px+q=0有两个不相等的实数根;
(2)∵6p
2-25q=0,
∴q=
,
∴x
2+px+
=0,即25x
2+25px+6p
2=0,
∴(5x+3p)(5x+2p)=0,
∵|x
1|<|x
2|,
∴x
1=-
,x
2=-
,
∴
=
.
点评:本题考查了一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程两个为x
1,x
2,则x
1+x
2=-
,x
1•x
2=
.也考查了一元二次方程根的判别式.