Question

5．对x，y定义一种新运算T，规定：$T（x，y）=\frac{ax+by}{2x+y}$（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：$T（0，1）=\frac{a×0+b×1}{2×0+1}=b$．
（1）已知T（1，-1）=-2，T（4，2）=1．
①求a、b的值；
②若关于m的方程T（1-m，-m²）=-2有实数解，求实数m的值；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a、b应满足怎样的关系式？

Answer 1

分析 （1）①利用题意得出关于a，b的方程组进而求出答案；
②利用已知得出关于m的等式求出答案；
（2）根据题意得出：$\frac{ax+by}{2x+y}=\frac{ay+bx}{2y+x}$，进而得出a，b的关系．

解答 解：（1）①由题意得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{a×1+（-1）b}{2×1+（-1）}=-2\\ \frac{4a+2b}{2×4+2}=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$；
②由题意得：$\frac{1×（1-m）+3（-{m}^{2}）}{2（1-m）+（-{m}^{2}）}$=-2，
化简得：m²+m-1=0，
解得：${m_1}=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}，{m_2}=\frac{{-1-\sqrt{5}}}{2}$；

（2）由题意得：$\frac{ax+by}{2x+y}=\frac{ay+bx}{2y+x}$，
化简得：（a-2b）（x²-y²）=0，
∵该式对任意实数x、y都成立，
∴a-2b=0，
∴a=2b．

点评 此题主要考查了一元二次方程的应用以及新定义，根据题意得出正确等式是解题关键．