Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P在AC边上，点M、N在AB边上，（点M在点N的左侧），PM=PN，且∠MPN=∠A，连接CN．
（1）当CN⊥AB时，求BN的长；
（2）求证：PM²=AN•MN；
（3）当CN∥PM时，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）先证出∠ACB=90°，再根据CN⊥AB得出$\frac{1}{2}$AB•CN=$\frac{1}{2}$AC•BC，10•CN=8×6，再计算即可；
（2）根据∠MPN=∠A，∠ANP=∠ANP，证出△APN∽△PMN，问题即可得证；
（3）由MP∥NC，过点P作PD⊥MN于点D，根据PM=PN得出tan∠PAD=tan∠BAC=$\frac{3}{4}$，设PD=3x，则AD=4x，AP=AN=5x，MD=x，AM=3x，最后根据MP∥NC，得出$\frac{AN}{AM}$=$\frac{AC}{AN}$，即$\frac{5x}{3x}$=$\frac{8}{5x}$求出x即可．

解答 解：（1）∵AC=8，BC=6，∠ACB=90°，
∴AB=10
∵CN⊥AB，
∴$\frac{1}{2}$AB•CN=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴10•CN=8×6，
∴CN=4.8，
∴BN=$\sqrt{{BC}^{2}{-CN}^{2}}$=$\sqrt{36{-4.8}^{2}}$=$\frac{18}{5}$；

（2）∵∠MPN=∠A，∠ANP=∠ANP，
∴△APN∽△PMN，
∴$\frac{PN}{AN}=\frac{MN}{PN}$，
∴PN²=AN•MN，
∵PM=PN，
∴PM²=AN•MN；

（3）如图，过点P作PD⊥MN于点D，
∵PM=PN，
∴MD=ND，
tan∠PAD=tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
设PD=3x，则AD=4x，
∴AP=AN=$\sqrt{{（3x）}^{2}{+（4x）}^{2}}$=5x，
∴MD=ND=5x-4x=x，
∴AM=3x，
∵MP∥NC，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{AC}{AN}$，即$\frac{5x}{3x}$=$\frac{8}{5x}$，
∴AP=5x=$\frac{24}{5}$．

点评 此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质与判定，关键是作出辅助线，找出比例线段．