Question

9．正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点．若△PBE是等腰三角形，则腰长为2$\sqrt{5}$，或$\frac{5}{2}$，或$\frac{\sqrt{65}}{2}$．

Answer 1

分析 分情况讨论：（1）当PB为腰时，若P为顶点，则E点和C点重合，求出PB长度即可；若B为顶点，则E点为CD中点；
（2）当PB为底时，E在BP的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E；
①由题意得出BM=$\frac{1}{2}$BP=$\sqrt{5}$，证明△BME∽△BAP，得出比例式$\frac{BE}{BP}=\frac{BM}{BA}$，即可求出BE；
②设CE=x，则DE=4-x，根据勾股定理得出方程求出CE，再由勾股定理求出BE即可．

解答 解：分情况讨论：
（1）当PB为腰时，若P为顶点，则E点与C点重合，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，
∵P是AD的中点，
∴AP=DP=2，
根据勾股定理得：BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
若B为顶点，则根据PB=BE′得，E′为CD中点，此时腰长PB=2$\sqrt{5}$；
（2）当PB为底边时，E在BP的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E；
①当E在AB上时，如图2所示：
则BM=$\frac{1}{2}$BP=$\sqrt{5}$，
∵∠BME=∠A=90°，∠MBE=∠ABP，
∴△BME∽△BAP，
∴$\frac{BE}{BP}=\frac{BM}{BA}$，即$\frac{BE}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴BE=$\frac{5}{2}$；
②当E在CD上时，如图3所示：
设CE=x，则DE=4-x，
根据勾股定理得：BE²=BC²+CE²，PE²=DP²+DE²，
∴4²+x²=2²+（4-x）²，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
∴CE=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$；
综上所述：腰长为：2$\sqrt{5}$，或$\frac{5}{2}$，或$\frac{\sqrt{65}}{2}$；
故答案为：2$\sqrt{5}$，或$\frac{5}{2}$，或$\frac{\sqrt{65}}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．