Question

（9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连结AF、BD.

(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；

(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然

成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.

 

Answer 1

（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD.………………1分

证明：设AF与DC交点为G.

∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，

∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，

∴∠BCD=∠ACF.

∴△ACF≌△BCD.

∴AF=BD.，∠AFC=∠BDC.……………………3分

∵∠AFC+∠FGC=90°,∠FGC=DGA，

∴∠BDC+∠DGA=90°.

∴AF⊥BD. ………………4分

∴AF=BD且AF⊥BD.……………………5分

(2)如图，结论：AF=BD且AF⊥BD.……………………9分

图形不唯一，只要符合要求即可.

画出图形得2分，写出结论得2分，此小题共4分.

如：图1中CD边在△ABC的内部；图2中CF边在△ABC的内部.    

解析:略