(9分)如图,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四边形CDEF是正方形,连结AF、BD.
(1)观察图形,猜想AF与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想;
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转,使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,题(1)中猜想的结论是否仍然
成立?若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说明理由.
(1)猜想:AF=BD且AF⊥BD.………………1分
证明:设AF与DC交点为G.
∵FC=DC,AC=BC,∠BCD=∠BCA+∠ACD,
∠ACF=∠DCF+∠ACD,∠BCA=∠DCF=90°,
∴∠BCD=∠ACF.
∴△ACF≌△BCD.
∴AF=BD.,∠AFC=∠BDC.……………………3分
∵∠AFC+∠FGC=90°,∠FGC=DGA,
∴∠BDC+∠DGA=90°.
∴AF⊥BD. ………………4分
∴AF=BD且AF⊥BD.……………………5分
(2)如图,结论:AF=BD且AF⊥BD.……………………9分
图形不唯一,只要符合要求即可.
画出图形得2分,写出结论得2分,此小题共4分.
如:图1中CD边在△ABC的内部;图2中CF边在△ABC的内部.
解析:略
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