Question

如图，正方形ABCD的边长为4，P为对角线AC上一点，且CP=3

2

，PE⊥PB交CD于点E，则PE=

 

．

Answer 1

分析：作辅助线，连接BE，根据AB，AP的长和∠BAP的度数，可将BP²表示出来，同理可将PE²，BE²表示出来，在Rt△BPE中，根据勾股定理BP²+PE²=BE²，可将CE的长求出，进而可将PE的长求出．

解答：解：连接BE，设CE的长为x
∵AC为正方形ABCD的对角线，正方形边长为4，CP=3

2

∴∠BAP=∠PCE=45°，AP=4

2

-3

2

=

2

∴BP²=AB²+AP²-2AB×AP×cos∠BAP=4²+（

2

）²-2×4×

2

×

2

2

=10
PE²=CE²+CP²-2CE×CP×cos∠PCE=（3

2

）²+x²-2x×3

2

×

2

2

=x²-6x+18
BE²=BC²+CE²=16+x²
在Rt△PBE中，BP²+PE²=BE²，即：10+x²-6x+18=16+x²，解得：x=2
∴PE²=2²-6×2+18=10
∴PE=

10

故答案为

10

．

点评：本题主要是利用勾股定理进行求解．