Question

7．如图，△OP₁A₁、△A₁P₂A₂都是等腰直角三角形，点P₁、P₂在函数y₁=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，斜边OA₁，A₁A₂都在x轴上．
（1）请求出P₁、P₂的坐标；
（2）求直线P₁P₂的解析式；
（3）利用图象直接写出当x在什么范围内取值时，y₂＞y₁（y₂是直线P₁P₂的函数值）

Answer 1

分析 （1）作P₁E、P₂F分别垂直x轴于点E、F，根据等腰直角三角形的性质可得出P₁E=OE=EA₁，P₂F=A₁F=FA₂，由此可设P₁（m，m），P₂（2m+n，n）（m＞0，n＞0），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于m、n的分式方程，解方程即可得出m、n值，经检验后即可得出P₁、P₂的坐标；
（2）设直线P₁P₂的解析式为y=kx+b（k≠0），根据点P₁、P₂的坐标，利用待定系数法即可求出直线P₁P₂的解析式；
（3）根据函数图象的上下位置关系即可得出不等式y₂＞y₁的解集．

解答 解：（1）作P₁E、P₂F分别垂直x轴于点E、F，如图所示．
∵△OP₁A₁、△A₁P₂A₂都是等腰直角三角形，
∴P₁E=OE=EA₁，P₂F=A₁F=FA₂，
∴设P₁（m，m），P₂（2m+n，n）（m＞0，n＞0），
∴m=$\frac{4}{m}$，n=$\frac{4}{2m+n}$，
∴m=2，n=2$\sqrt{2}$-2，
经检验m=2，n=2$\sqrt{2}$-2是分式方程的解．
∴P₁（2，2），P₂（2$\sqrt{2}$+2，2$\sqrt{2}$-2）．
（2）设直线P₁P₂的解析式为y=kx+b（k≠0），
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2=2k+b}\\{2\sqrt{2}-2=（2\sqrt{2}+2）k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1-\sqrt{2}}\\{b=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直线P₁P₂的解析式为y=（1-$\sqrt{2}$）x+2$\sqrt{2}$．
（3）观察函数图象，发现：
当2＜x＜2+$\sqrt{2}$时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
故当2＜x＜2+$\sqrt{2}$时，y₂＞y₁．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征找出关于m、n的方程；（2）利用待定系数法求出直线P₁P₂的解析式；（3）根据函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．