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12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=$\sqrt{3}$cm,若AO=xcm,⊙O的半径为1cm,请问:当x在什么范围内取值时,AC与⊙O相交、相切、相离?

分析 由AC=3,BC=$\sqrt{3}$,可求出∠A的大小,根据含30°直角三角形的性质即可得到OD和AO的关系.
(1)若圆O与AC相离,则有OD大于r,列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范围;
(2)若圆O与AC相切,则有OD=r,求出x的值即可;
(3)若圆O与AC相交,则有OD小于r,列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范围.

解答 解:作OD⊥AC,
∵∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=30°,
∵AO=x,
∴OD=$\frac{1}{2}$x.
(1)若圆O与AC相离,则有OD大于r,即$\frac{1}{2}$x>1,解得:x>2;
(2)若圆O与AC相切,则有OD等于r,即$\frac{1}{2}$x=1,解得:x=2;
(3)若圆O与AC相交,则有OD小于r,即$\frac{1}{2}$x<1,解得:0<x<2;
综上可知:当x>2时,AC与⊙O相离;x=2时,AC与⊙O相切;0<x<2时,AC与⊙O相交.

点评 此题考查了直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断.

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