Question

15．（1）用适当的方法解方程：
①（x-2）²=2x-4   
②x²-2x-8=0．
（2）先化简，再求值：$\frac{a-2}{{{a^2}-1}}$÷（$\frac{2a-1}{a+1}$-a+1），其中a是方程x²-x=6的根．

Answer 1

分析 （1）①移项后提取公因式分解因式，继而求解可得；②十字相乘法分解因式法求解可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和法则化简分式，再由方程的解的定义得出a²-a=6，最后整体代入求解可得．

解答 解：（1）①（x-2）²-2（x-2）=0，
（x-2）（x-4）=0，
∴x-2=0或x-4=0，
解得：x₁=4，x₂=2；
②（x-4）（x+2）=0，
∴x-4=0或x+2=0，
解得：x₁=4，x₂=-2；

（2）原式=$\frac{a-2}{（a+1）（a-1）}$÷（$\frac{2a-1}{a+1}$-$\frac{{a}^{2}-1}{a+1}$）    
=$\frac{a-2}{（a+1）（a-1）}$•$\frac{a+1}{-a（a-2）}$
=-$\frac{1}{a（a-1）}$
=-$\frac{1}{{a}^{2}-a}$
∵a是方程x²-x=6的根，
∴a²-a=6，
则原式=-$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解法及分式的化简求值、方程的解的定义．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．