Question

等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。
（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x。
①若，BM=，求x的值；
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=15⁰？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。

Answer 1

（1）见解析
（2）①
②    
③直角三角形  见解析

（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。
（2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。
②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，
用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。
③由∠BAD=15⁰得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。
求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。
解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60⁰，∠ADM=∠APN=60⁰。∴∠DAM=∠PAN。
∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。
（2）①易证△BPM∽△CAP，∴，
∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。
解得x=或x=。
②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。
∵△ADM≌△APN，∴。
∴。
如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。

在Rt△BPS中，∵∠P=60⁰，BP=x，
∴PS=BPsin60⁰=x，BS=BPcos60⁰=x。
∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。
∴。
∴。
∴。
∴当x=1时，S的最小值为。
③连接PG，设DE交AP于点O。

若∠BAD=15⁰，
∵∠DAP =60⁰，∴∠PAG =45⁰。
∵△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=DP=AP=PE=EA。
∴四边形ADPE是菱形。
∴DO垂直平分AP。
∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =45⁰。
∴∠PGA =90⁰。
设BG=t，
在Rt△BPG中，∠B=60⁰，∴BP=2t，PG=。∴AG=PG=。
∴，解得t=－1。∴BP=2t=2－2。
∴当BP=2－2时，∠BAD=15⁰。
猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30^0。
∵∠BAD=15⁰，∴易得∠AGO=45⁰，∠HAO=15⁰，∠EAH=45⁰。
设AO=a，则AD="AE=2" a，OD=a。∴DG=DO－GO=（－1）a。
又∵∠BAD=15⁰，∠BAC=60⁰，∠ADO=30⁰，∴∠DHA=∠DAH=75⁰。
∵DH=AD=2a，
∴GH=DH－DG=2a－（－1）a=（3－）a，
HE=2DO－DH=2a－2a=2（－1）a。
∵，
，
∴。
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。