Question

已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，CG是⊙O的切线交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG∥AD吗？说明理由；
（2）证明：点E为OB的中点．

Answer 1

解：（1）CG∥AD，理由如下：
∵CG是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴CG⊥CF；
又∵CF⊥AD，
∴CG∥AD（同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；

（2）证法一：
证明：如图（1），连接AC，
∵CF⊥AD，AE⊥CD，
且CF、AE过圆心O，
，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D=60°，
∴∠FCD=30°；
在Rt△COE中，OE=OC，
∴OE=OB，
∴点E为OB的中点；

证法二：
证明：如图（2），连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
又∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD，
∵△BDE∽△OCE，
∴，
∵AE⊥CD，且AE过圆心O，
∴ED=CE，
∴=1，即BE=OE，
∴点E为OB的中点．
分析：（1）根据切线的性质知CG⊥CF，再由已知条件CF⊥AD，可以根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行判定CG∥AD；
（2）证法一：连接AC构建等边三角形ACD，然后根据等边三角形的“三合一”、三个内角都是60°的性质推知∠FCD=30°；最后利用垂径定理和30°的直角边是斜边的一半求得OE=OB，即点E为OB的中点；
证法二：连接BD构建平行线CF∥BD，从而易得△BDE∽△OCE；然后由相似三角形的对应边成比例、垂径定理可以求得=1．
点评：本题综合考查了切线的性质、圆周角定理已经垂径定理．解答（1）时，借用了“同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行”这一平行线的判定定理．