Question

若△ABC内接于⊙O，OC=6cm，AC=6

3

cm，则∠B等于

60°或120°

．

Answer 1

分析：①连接OA，OC，过O作OD⊥AC于D，求出CD、AD，由勾股定理求出OD，求出∠ACO推出∠AOC=120°，根据圆周角定理求出∠B=

1

2

∠AOC，代入求出即可．②同样可求出∠D=60°，根据圆内接四边形性质求出∠ABC=120°．

解答：解：如图1，
连接OA，OC，过O作OD⊥AC于D，
∵OD⊥AC，OD过圆心O，
∴AD=CD=

1

2

AC=3

3

，
由勾股定理得：OD=

OC2-CD2

=

62-(3 3 )2

=3，
即OD=

1

2

OC，
∴∠DCO=30°，∠COD=60°，
同理∠AOD=60°，
∵∠B=

1

2

∠AOC，
∴∠B=60°．
②如图2
∵由垂径定理得CM═3

3

，OC=6，由勾股定理得：OM=3，
∴∠OCM=30°，∴∠MOC=60°，
∴∠AOC=2∠MOC=120°，
由圆周角定理得：∠D=60°，
∵A、D、C、B四点共圆，
∴∠ABC=120°，
故答案为：60°或120°．

点评：本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的外接圆等知识点的应用，关键是求出∠AOC的度数，通过做此题培养了学生的推理能力和计算能力．