Question

【题目】某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图像是函数P＝（0＜t≤8）的图像与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝

（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数表达式；

（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）

①求w关于t的函数表达式；

②未来两年内，当月销售量P为时，月毛利润为w达到最大．

Answer 1

【答案】（1）P＝t+2；（2）①当0＜t≤8时，w＝240；当8＜t≤12时，w＝2t2+12t+16；当12＜t≤24时，w＝﹣t2+42t+88；②23

【解析】

（1）设8＜t≤24时，P＝kt＋b，将A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P＝t＋2；
（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三种情况，根据月毛利润＝月销量×每吨的毛利润可得函数解析式；
②当0＜t≤8时，w的值始终是240；当8＜t≤12时，w＝2t2＋12t＋16＝2(t＋3)22，当t＝12时，求得w值；当12＜t≤24时，w＝﹣t2+42t+88＝﹣(t﹣21)2+529，根据二次函数的增减性求得当t＝21时w的值，进而可得到结论．

解：（1）设8＜t≤24时，P＝kt+b，

将A（8，10）、B（24，26）代入，得：

解得：，

∴P＝t+2；

（2）∵w＝P·Q

∴①当0＜t≤8时，w＝(2t+8)×＝240；

当8＜t≤12时，w＝(2t+8) (t+2)＝2t2+12t+16；

当12＜t≤24时，w＝(﹣t+44)(t+2)＝﹣t2+42t+88；

②当0＜t≤8时，w＝240；

当8＜t≤12时，w＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2，

∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大，

当t＝12时，w取得最大值，最大值为448，

当12＜t≤24时，w＝﹣t2+42t+88＝﹣(t﹣21)2+529，

当t＝21时，w取得最大值529，

∵529>448>240

∴t＝21时，w取得最大值

此时P＝t+2=23