Question

23、如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，求证：PC²=PA•PB．

Answer 1

分析：连接AC，BD，先证明△APC∽△DPB，得到CP•DP=AP•BP，再根据垂径定理得到CP=PD，等量代换可得PC²=PA•PB．

解答：证明：连接AC，BD，
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△APC∽△DPB．
∴CP•DP=AP•BP．
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴CP=PD．
∴PC²=PA•PB．

点评：主要考查了垂径定理和相交弦定理的运用．相交弦定理可通过△APC∽△DPB来证明得到，注意垂径定理和相交弦定理的灵活运用，两者相结合多见于证明射影定理．