Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C两点作过点A的直线的垂线，垂足为M、N.

（1）如图1，当M、N两点在直线BC的同侧时，求证：BM+CN＝MN；

（2）如图2，当M、N两点在直线BC的两侧时，BM、CN、MN三条线段的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由垂线的定义和角的互余关系得出∠AMB＝∠CNA＝90°，∠ABM＝∠CAN，由AAS证明△ABM≌△CAN，得出对应边相等BM＝AN，AM＝CN，由AN+AM＝MN，即可得出结论；

（2）由垂线的定义和角的互余关系得出∠AMB＝∠CNA＝90°，∠ABM＝∠CAN，由AAS证明△ABM≌△CAN，得出对应边相等BM＝AN，AM＝CN，由AN+MN＝AM，即可得出结论．

（1）证明：∵∠BAC＝90°，

∴∠BAM+∠CAN＝90°，

∵BM⊥l，BN⊥l，

∴∠AMB＝∠CNA＝90°，

∴∠BAM+∠ABM＝90°，

∴∠ABM＝∠CAN，

在△ABM和△CAN中，

∴△ABM≌△CAN（AAS），

∴BM＝AN，AM＝CN，

∵AN+AM＝MN，

∴BM+CN＝MN；

（2）解：BM+MN＝CN；理由如下：

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAM+∠CAN＝90°，

∵BM⊥l，BN⊥l，

∴∠AMB＝∠BNA＝90°，

∴∠BAM+∠ABM＝90°，

∴∠ABM＝∠CAN，

在△ABM和△CAN中，，

∴△ABM≌△CAN（AAS），

∴BM＝AN，AM＝CN，

∵AN+MN＝AM，

∴BM+MN＝CN．