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平面上有四个点(没有三点共线),以这四个点为顶点作三角形,其中锐角三角形最多有(  )个.
A、3B、2C、1D、0
考点:三角形边角关系
专题:
分析:平面内的四个点(没有三点共线)可以组成4个三角形.假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形,记四个点为A、B、C、D,考虑点D在△ABC之内与之外这两种情况,利用与已知定理矛盾,从而假设不成立.以此推断其中锐角三角形最多有3个.
解答:解:平面内的四个点(没有三点共线)可以组成4个三角形.
假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形,记四个点为A、B、C、D,考虑点D在△ABC之内与之外这两种情况.
(1)如果点D在△ABC之内,由假设知围绕点D的三个角都是锐角,其和小于270°,这与一个周角等于360°相矛盾,根据∠ADB、∠BDC、∠ADC三个角一定小于180°,即其中两个的和一定大于180°,则三个角中最多有2个锐角,即△ABD、△ADC和△BDC中最多有2个锐角三角形,加上△ABC,则图中最多有3个锐角三角形.
(2)如果点D在△ABC之外,由假设知∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB都小于90°,这与四边形的内角和为360°相矛盾,则四个角中最多有3个锐角,则四个三角形中最多有三个锐角三角形.
综上所述,锐角三角形最多有3个.
故选A.
点评:本题考查了三角形的内角和定理,正确判断∠ADB、∠BDC、∠ADC三个角中最多有2个锐角,以及∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB四个三角形中最多有三个锐角三角形是关键.
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