Question

已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a²+b²+c²=10a+24b+26c-338．
（1）试判断三角形的形状；
（2）求三角形最长边上的高．

Answer 1

分析：（1）先将式子进行化简，配方成完全平方的形式，求得a，b，c，根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）根据（1）求出三角形的面积，再由最长边乘以最长边上的高除以2也等于这个三角形的面积，求出最长边上的高．

解答：解：（1）∵a²+b²+c²=10a+24b+26c-338
∴a²-10a+b²-24b+c²-26c+338=0
a²-10a+25+b²-24b+144+c²-26c+169=0
（a-5）²+（b-12）²+（c-13）²=0（2分）
∴（a-5）²=0，（b-12）²=0，（c-13）²=0
∴a=5，b=12，c=13（3分）
∴a²+b²=c²=169
∴△ABC是直角三角形；（4分）

（2）△ABC最长边为c，
设c上的高为h．
S_△ABC=

1

2

ab
=

1

2

×5×12
=30，
又∵S_△ABC=

1

2

ch=30

1

2

•13h=30，
∴h=

60

13

．（7分）

点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；直角三角形有两种求面积的方法．