【题目】如图1,点P,Q分别是边长为4 cm的等边△ABC边AB,BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,都以1 cm/s的速度分别向B,C运动.
(1)连接AQ,CP交于点M,则P,Q运动的过程中,∠CMQ的大小变化吗?若变化,说明理由;若不变,求出它的度数;
(2)何时△PBQ是直角三角形?
(3)如图2,若点P,Q在运动到终点后继续在射线 AB,BC上运动,直线AQ,CP交于点M,则∠CMQ的度数为。
【答案】(1) ∠CMQ=60°不变;
(2) 当t=s或s时,△PBQ为直角三角形;
(3) ∠CMQ=120°.
【解析】
(1)利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA,则可求得∠BAQ=∠ACP,再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ=60°;
(2)可用t分别表示出BP和BQ,分∠BPQ=90°和∠BPQ=90°两种情况,分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程,则可求得t的值;
(3)同(1)可证得△PBC≌△QCA,再利用三角形外角的性质可求得∠CMQ=120°.
解:(1)∠CMQ=60°不变,理由如下:
由题意知AP=BQ.
∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BA,∠CAP=∠B=60°.
∴△APC≌△BQA(SAS).
∴∠ACP=∠BAQ.
∵∠CMQ=∠ACP+∠QAC,
∴∠CMQ=∠BAQ+∠QAC=∠BAC=60°.
∴P,Q运动过程中,∠CMQ的大小不变,为60°.
(2)设运动的时间为t,则AP=BQ=t,BP=4-t.
①当∠PQB=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BPQ=30°.
∴BQ=BP,即t= (4-t),解得t=;
②当∠BPQ=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BQP=30°.
∴BP=BQ,即4-t=t,解得t=.
∴当t=s或s时,△PBQ为直角三角形.
(3)在等边三角形ABC中,AC=BC,∠ABC=∠BCA=60°,
∴∠PBC=∠QCA=120°,且BP=CQ,
在△PBC和△QCA中
∴△PBC≌△QCA(SAS),
∴∠BPC=∠MQC,
又∵∠PCB=∠MCQ,
∴∠CMQ=∠PBC=120°,
∴在P、Q运动的过程中,∠CMQ的大小不变,∠CMQ=120°.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上)
(1)若△CEF与△ABC相似,且当AC=BC=2时,求AD的长;
(2)若△CEF与△ABC相似,且当AC=3,BC=4时,求AD的长;
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读下列材料:通过小学的学习我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”,而假分数都可化为带分数,如:我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.
如这样的分式就是假分式;再如:,这样的分式就是真分式类似的,假分式也可以化为带分式(即:整式与真分式的和的形式)
如:;
解决下列问题:
(1)分式是______分式(填“真分式”或“假分式”);
(2)将假分式化为带分式;
(3)如果x为整数,分式的值为整数,求所有符合条件的x的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,等腰三角形ABC底边BC的长为4,面积为12,腰AB的垂直平分线EF交AB于点E,交AC于点F.若D为BC边的中点,M为线段EF上一个动点,则△BDM的周长的最小值为______.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为的大正方形,两块是边长都为的小正方形,五块是长为、宽为的全等小矩形,且> .(以上长度单位:cm)
(1)观察图形,可以发现代数式可以因式分解为 ;
(2)若每块小矩形的面积为10,四个正方形的面积和为58,试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在某市实施城中村改造的过程中,“旺鑫”拆迁工程队承包了一项10000 m2的拆迁工程.由于准备工作充分,实际拆迁效率比原计划提高了25%,提前2天完成了任务,请解答下列问题:
(1)求“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁多少平方米;
(2)为了尽量减少拆迁给市民带来的不便,在拆迁工作进行了2天后,“旺鑫”拆迁工程队的领导决定加快拆迁工作,将余下的拆迁任务在5天内完成,那么“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁多少平方米?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知点A(1,a)是反比例函数的图象上一点,直线与反比例函数的图象的交点为点B、D,且B(3,﹣1),求:
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求点D坐标,并直接写出y1>y2时x的取值范围;
(3)动点P(x,0)在x轴的正半轴上运动,当线段PA与线段PB之差达到最大时,求点P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=8,D为AB的中点,E点在边AC上,将△BDE沿DE折叠得到△B1DE,若△B1DE与△ADE重叠部分面积为△ADE面积的一半,则CE=_____________.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com