Question

【题目】如图1，点P，Q分别是边长为4 cm的等边△ABC边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，都以1 cm/s的速度分别向B，C运动．

(1)连接AQ，CP交于点M，则P，Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化，说明理由；若不变，求出它的度数；

(2)何时△PBQ是直角三角形？

(3)如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线 AB，BC上运动，直线AQ，CP交于点M，则∠CMQ的度数为。

Answer 1

【答案】(1) ∠CMQ＝60°不变；

(2) 当t＝s或s时，△PBQ为直角三角形；

(3) ∠CMQ=120°．

【解析】

（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ=60°；

（2）可用t分别表示出BP和BQ，分∠BPQ=90°和∠BPQ=90°两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程，则可求得t的值；

（3）同（1）可证得△PBC≌△QCA，再利用三角形外角的性质可求得∠CMQ=120°．

解：(1)∠CMQ＝60°不变，理由如下：

由题意知AP＝BQ.

∵△ABC为等边三角形，

∴AC＝BA，∠CAP＝∠B＝60°.

∴△APC≌△BQA(SAS)．

∴∠ACP＝∠BAQ.

∵∠CMQ＝∠ACP＋∠QAC，

∴∠CMQ＝∠BAQ＋∠QAC＝∠BAC＝60°.

∴P，Q运动过程中，∠CMQ的大小不变，为60°.

(2)设运动的时间为t，则AP＝BQ＝t，BP＝4－t.

①当∠PQB＝90°时，

∵∠B＝60°，

∴∠BPQ＝30°.

∴BQ＝BP，即t＝ (4－t)，解得t＝；

②当∠BPQ＝90°时，

∵∠B＝60°，

∴∠BQP＝30°.

∴BP＝BQ，即4－t＝t，解得t＝.

∴当t＝s或s时，△PBQ为直角三角形．

（3）在等边三角形ABC中，AC=BC，∠ABC=∠BCA=60°，

∴∠PBC=∠QCA=120°，且BP=CQ，

在△PBC和△QCA中

∴△PBC≌△QCA（SAS），

∴∠BPC=∠MQC，

又∵∠PCB=∠MCQ，

∴∠CMQ=∠PBC=120°，

∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小不变，∠CMQ=120°．