Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（-1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．?当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围为b=$\sqrt{2}$或-1≤b＜1；?已知?AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，则点M的横坐标x的取值范围为-2＜x＜-1或0≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离，可利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围；
根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可得出答案．

解答 解：如图，分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，
∵点D在以AB为直径的半圆上，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AD，
在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=$\sqrt{2}$，
∵AE∥BF，
∴两条射线AE、BF所在直线的距离为$\sqrt{2}$，
则当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=$\sqrt{2}$或-1≤b＜1．

假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：
①当点M在射线AE上时，如图2，
∵AMPQ四点按顺时针方向排列，
∴直线PQ必在直线AM的上方
∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合，
∴0＜PQ＜$\sqrt{2}$．
∵AM∥PQ且AM=PQ，
∴0＜AM＜$\sqrt{2}$，
∴-2＜x＜-1，
②当点M在弧AD上时，如图3，
∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列
∴直线PQ必在直线AM的下方，
此时，不存在满足题意的平行四边形．
③当点M在弧BD上时，
设弧DB的中点为R，则OR∥BF，
当点M在弧DB上时，如图4，
过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点．
∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形，
∴0≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当点M在弧RB上时，如图5，
直线PQ必在直线AM的下方，
此时不存在满足题意的平行四边形．
④当点M在射线BF上时，如图6，
直线PQ必在直线AM的下方，
此时，不存在满足题意的平行四边形．
综上，点M的横坐标x的取值范围是-2＜x＜-1或0≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：b=$\sqrt{2}$或-1＜b＜1，-2＜x＜-1或0≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题考查了一次函数的综合，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分类讨论思想．