我们知道.分解因式与整式乘法是互逆的运算．在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题.请你根据情况解答:(1)两位同学将一个二次三项式分解因式时.其中一位同学因看错了一次项系数而分解成3.另一位同学因看错了常数项而分解成3.请你求出原来的多项式并将原式分解因式．(2)已知a.b.c是△ABC的三边且满足a2c2-b2c2=a4-b4．判断△ABC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算．在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：
（1）两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x-1）（x+2），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x+2）（x-3），请你求出原来的多项式并将原式分解因式．
（2）已知a、b、c是△ABC的三边且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴．判断△ABC的形状．

分析（1）由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax²+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax²+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将3（x-1）（x+2）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将3（x+2）（x-3）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案；
（2）把已知中的式子a⁴-b⁴=a²c²-b²c²，移项右边变化成0，左边分解因式即可进行判断．

解答解：（1）设原多项式为ax²+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．
∵3（x-1）（x+2）=3（x²+x-2）=3x²+3x-6，
∴a=3，c=-6；
又∵3（x+2）（x-3）=3（x²-x-6）=3x²-3x-18，
∴b=-3．
∴原多项式为3x²-3x-6，将它分解因式，得
3x²-3x-6=3（x²-x-2）=3（x-2）（x+1）．
（2）∵a⁴-b⁴=a²c²-b²c²
∴a⁴-b⁴-a²c²+b²c²=0
即：（a²+b²-c²）（a²-b²）=0
则a²+b²-c²=0或a²-b²=0
可得a²+b²=c²或a=b．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形

点评本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错．

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5．探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空
证明：延长CB到G，使BG=DE，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即GAF=∠EAF．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．

变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系相等；
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足$∠EAF=\frac{1}{2}∠DAB$，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B与∠D满足关系：∠B+∠D=180°．

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科目：初中数学 来源： 题型：解答题

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（2）（$\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$）（$\sqrt{5}$-$\sqrt{6}$）

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