Question

某校九年级数学小组在课外活动中，研究了同一坐标系中两个反比例函数y₁=

k1

x

与y₂=

k2

x

（k₂＞k₁＞0）在第一象限图象的性质，经历了如下探究过程：
操作猜想：
（1）如图①，当k₁=2，k₂=6时，在y轴的正方向上取一点A作x轴的平行线交y₁于点B，交y₂于点C．
当OA=1时，AB=

 

，BC=

 

，

BC

AB

=

 

；
当OA=3时，AB=

 

，BC=

 

，

BC

AB

=

 

；
当OA=a时，猜想

BC

AB

=

 

．
数学思考：
（2）在y轴的正方形上任意取点A作x轴的平行线，交y₁于点B、交y₂于点C，请用含k₁、k₂的式子表示

BC

AB

的值，并利用图②加以证明．
推广应用：
（3）如图③，若k₂=12，

BC

AB

=

1

2

，在y轴的正方向上分别取点A、D（OD＞OA）作x轴的平行线，交y₁于点B、E，交y₂于点C、F，是否存在四边形ADFB是正方形？如果存在，求OA的长和点B的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：探究型

分析：（1）只需根据AB•OA=2及AC•OA=6就可解决问题；
（2）由AB•OA=k₁及AC•OA=k₂可得BC•OA=k₂-k₁，就可得到

BC

AB

=

BC•OA

AB•OA

=

k2-k1

k1

；
（3）设点B的坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），则有DF=DA=AB=a，OA=b，从而可得到点F的坐标为（a，a+b）．由k₂=12及

BC

AB

=

k2-k1

k1

=

1

2

可求得k₁=8．然后根据点B在y=

8

x

图象上，点F在y=

12

x

图象上，可得到ab=8，a（a+b）=12，从而求出a、b的值，就可解决问题．

解答：解：（1）当OA=1时，由AB•OA=2得AB=2，由AC•OA=6得AC=6，则有BC=AC-AB=4，所以

BC

AB

=2；
当OA=3时，由AB•OA=2得AB=

2

3

，由AC•OA=6得AC=2，则有BC=AC-AB=

4

3

，所以

BC

AB

=2；
当OA=a时，猜想：

BC

AB

=2．
故答案为：2，4，2；

2

3

，

4

3

，2；2．

（2）

BC

AB

=

k2-k1

k1

．
证明：∵AB•OA=k₁，AC•OA=k₂，
∴AC•OA-AB•OA=BC•OA=k₂-k₁，
∴

BC

AB

=

BC•OA

AB•OA

=

k2-k1

k1

．

（3）若四边形ADFB是正方形，
设点B的坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
则有DF=DA=AB=a，OA=b，OD=a+b，
∴点F的坐标为（a，a+b）．
∵k₂=12，

BC

AB

=

k2-k1

k1

=

1

2

，
∴

12-k1

k1

=

1

2

，
解得：k₁=8．
∵点B在y=

8

x

图象上，点F在y=

12

x

图象上，
∴ab=8，a（a+b）=12，
∴a²=12-8=4，
∴a=2，
∴b=4，
∴OA=4，点B的坐标为（2，4）．

点评：本题是一道探究题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、解方程等知识，更考查了归纳探究应用的能力，是一道好题．