Question

5．如图，将△ABC沿BC折叠得到△BCD，再将△BCD沿BD折叠得到△BDE，设折叠后所得多边形的边数为n．
（1）填空：
①在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，则n=3
②在△ABC中，∠A=90°，∠ABC＜60°，则n=4
③在△ABC为锐角三角形，且∠ABC=60°，则n=4
（2）若折叠后所得图形为四边形，解答下列问题：
①当四边形边长分别为3，4，5，6时，求此四边形的面积；
②当四边形边长分别为5，5，5，8时，直按写出△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）利用折叠后对应的边及对应的角都相等可以得出结果①由∠A=90°，∠ABC=60°可得到C、D、E三点及A、B、E三点在同一直线上，形成的是三角形；②由∠A=90°可得到C、D、E三点在同一直线上，形成的是四边形；①由∠ABC=60°可A、B、E三点在同一直线上，形成的是四边形；
（2）①若折叠后为四边形，当四边为3，4，5，6时，可构建出一个直角三角形，可利用勾股定理计算出相应的边计算面积；
②当四边形边长分别为5，5，5，8时，构建出一个等边三角形，利用对应关系求出△ABC的周长．

解答 解：（1）由题可知AB=BD=BE，AC=CD=DE，∠A=∠BDC=∠BDE，∠ABC=∠CBD=∠DBE
①∵∠A=90°，∠ABC=60°，如图1，                   
∴∠CDE=180°，∠CBE=120°，∠BCD=∠BED=30°
∴n=3；
故答案为3
②∵∠A=90°，∠ABC＜60°，如图2，
∴∠CDE=180°，∠CBE＜120°，∠BCD=∠BED＞30°
∴n=4；
故答案为4
③∵△ABC为锐角三角形，∠ABC=60°，如图3，
∴∠CDE＜180°，∠CBE=120°，∠ABE=180°
∴n=4
故答案为4
（2）①当四边形边长分别为3，4，5，6时，则形如图2
根据题意有CE=2AC，则得AC=3，CE=6，AB=BD=4，BE=5
∴S=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×6×4=6+12=18；
②当四边形边长分别为5，5，5，8时，则形如图3
根据题意有AC=CD=DE，则可知AC=CD=DE=5，AE=8
∵AB=BD CB=BE，
∴AB+BC=AE=8，
∴C_△ABC=5+8=13．

点评 本题考查了折叠的性质，解题的关键是找到△ABC折叠后对应的角度关系，要注意结合不同的度数画出对应图形．