Question

在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N：

（1）如图1，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2）：
①判断此时四边形PQMN的形状为

菱形

  （直接写出你的结论）
②当AE=6，EB=3，求此时四边形PQMN的周长（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）连结AC、BD．利用三角形中位线定理判定四边形PQMN的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；
（2）①四边形PQMN是菱形；
②如图2，过点D作DF⊥AB于F，则通过解三角形求得DF=3

3

，由勾股定理得到DB=

(3 3 )2+62

=3

7

．由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6

7

．

解答：解：（1）连结AC、BD．∵PQ为△ABC的中位线，∴PQ

∥

.

1

2

AC
同理  MN

∥

.

1

2

AC．∴MN

∥

.

PQ，∴四边形PQMN为平行四边形；

（2）①四边形PQMN是菱形；
②过点D作DF⊥AB于F，则DF=3

3

又DF²+FB²=DB²
∴DB=

(3 3 )2+62

=3

7

∴由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6

7

．

点评：本题考查了中点四边形．解题时，利用了三角形中位线的性质定理．