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    4．如图，在△OAB中，OA=OB，以点O为圆心的⊙O经过AB的中点C，直线AO与⊙O相交于点E、D，OB交⊙O于点F，P是$\widehat{DF}$的中点，连接CE、CF、BP．
    （1）求证：AB是⊙O的切线．
    （2）若OA=4，则
    ①当$\widehat{DP}$长为$\frac{π}{3}$时，四边形OECF是菱形；
    ②当$\widehat{DP}$长为$\frac{\sqrt{2}π}{2}$时，四边形OCBP是正方形．

    分析 （1）由等腰三角形三线合一的性质可知OC⊥AB，依据题意可知OC为⊙O的半径，故此可证明AB是⊙O的切线；
    （2）①由菱形的性质可知：OE=EC，∠EOC=∠COF，然后证明△OEC为等边三角形可得到∠EOC的度数，然后可求得∠DOP的度数，接下来，在△OAC中，利用特殊锐角三角函数值可求得OC的长，最后依据弧长公式求解即可；②依据正方形的性质可求得OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠POF=45°，然后可得到∠DOP的度数，最后依据弧长公式求解即可．

    解答 解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，C是AB的中点，
    ∴OC⊥AB．
    ∵OC为⊙O的半径，
    ∴AB是⊙O的切线．

    （2）①∵OECF为菱形，
    ∴OE=EC，∠EOC=∠COF．
    ∴OE=EC=OC．
    ∴∠EOC=∠COF=60°．
    ∴∠DOF=60°．
    又∵P为弧DF的中点，
    ∴∠DOP=30°．
    ∵∠AOC=60°，∠OCA=90°，
    ∴OC=$\frac{1}{2}$OA=2．
    ∴弧DP的长=$\frac{30π×2}{180}$=$\frac{π}{3}$．
    ②∵四边形OCBP为正方形，
    ∴∠COB=∠POB=45°．
    ∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=2$\sqrt{2}$．
    ∵P为弧DF的中点，
    ∴∠DOP=45°．
    ∴弧DP的长=$\frac{45π×2\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}π}{2}$．
    故答案为：①$\frac{π}{3}$；②$\frac{\sqrt{2}π}{2}$．

    点评 本题主要考查的是切线的判定和性质、菱形的性质、正方形的性质、特殊锐角三角函数、等边三角形的性质和判定、弧长的计算，求得∠DOP的度数是解题的关键．

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    14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于点A（-2，0）和B（B在A右），交y轴于点C，直线y=2kx-12k经过点B，交y轴于点D，CD=OD．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若P是第一象限抛物线上的一点，过P点作PH⊥BD于H，设P点的横坐标是t，求当PH的长最大时P点坐标；
    （3）在（2）的条件下，将射线PH绕着点P顺时针方向旋转45°交抛物线于点Q，求Q点关于直线PH的对称点E的坐标．

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    15．如图，AB是⊙O的直径，点D是$\widehat{AE}$上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．
    （1）求证：BC是⊙O的切线；
    （2）若BD平分∠ABE延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．

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    12．阅读下面的解题过程，并在横线上补全推理过程或依据．
    已知：如图，DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC．
    试说明∠FDE=∠DEB．
    解：∵DE∥BC（已知）
    ∴∠ADE=∠ABC．（两直线平行，同位角相等）
    ∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC （已知）
    ∴∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADE
    ∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC（角平分线定义）
    ∴∠ADF=∠ABE（等量代换）
    ∴DF∥BE．（同位角相等，两直线平行）
    ∴∠FDE=∠DEB．（两直线平行，内错角相等）

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    19．计算：$\sqrt{18}$+$\sqrt{\frac{9}{2}}$-${（π-\sqrt{2}）}^{0}$-|1-$\sqrt{2}$|+${（\frac{1}{2}）}^{-1}$．

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    9．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F．设CM=x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式y=-$\frac{1}{2}$x2+x．

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    16．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE=AB，联结ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形ACDE成为菱形的是（　　）
    A．AB=ADB．AB=EDC．CD=AED．EC=AD

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    13．将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标是（8，6），点P是边AB上的一个动点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在点Q处．
    （1）如图①．当点Q恰好落在OB上时．求点P的坐标；
    （2）如图②，当点P是AB中点时，直线OQ交BC于M点；
    （a）求证：MB=MQ；（b）求点Q的坐标．

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    14．已知二元一次方程组$\left\{{\begin{array}{l}{2x+3y=5}\\{2x-y=1}\end{array}}\right.$的解也是方程8x-2y=k的解，求k的值．

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