Question

5．已知如图：∠ABP=∠CBP，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠BAP+∠BCP=180°，求证：AB+BC=2BD．

Answer 1

分析 过点P作PM⊥AB，垂足为点M，首先证明PM=PD，BM=BD，根据∠BAP+∠BCP=180°，且∠BAP+∠MAP=180°，求出∠PAM=∠BCP，进而利用AAS证明△PAM≌△PCD，于是得到AM=CD，进而得出AB+BC=2BD．

解答 解：过点P作PM⊥AB，垂足为点M，
∵PM⊥AB，PD⊥BC，∠ABP=∠CBP，
∴PM=PD，BM=BD，
∵∠BAP+∠BCP=180°，且∠BAP+∠MAP=180°，
∴∠PAM=∠BCP，
在△PAM和△PCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAM=∠PCD}\\{∠PMA=∠PDC=90°}\\{PM=PD}\end{array}\right.$，
∴△PAM≌△PCD，
∴AM=CD，
∴BM-AB=BC-BD，
∴BD-AB=BC-BD，
∴AB+BC=2BD．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质的知识，解答本题的关键是求出∠PAM=∠BCP，利用AAS证明△PAM≌△PCD，此题难度不大．