Question

天羽服装厂生产M、N型两种服装，受资金及规模限制，每天最多只能用A种面料68米和B种面料62米生产M、N型两种服装共80套．已知M、N型服装每套所需面料和成本如下表，设每天生产M型服装x套．

	A	B	成本
M型	1.1m	0.4m	100元
N型	0.6m	0.9m	80元

（1）若要每天成本不高于7200元，则该厂每天生产M型服装最多多少套，最少多少套？
（2）经市场调查，生产的M、N型服装有两种销售方案（假设每天生产的服装都能全部售出）．
方案Ⅰ：两种型号服装都在本市销售，M型180元/件、N型120元/件；
方案Ⅱ：N型服装在本市销售，120元/件，M型服装批发给H市服装商，其每件的批发价y（元）与批量x（件）之间的关系如图所示．
如果你是厂长，应采用哪种销售方案可使每天获利最大，最大利润是多少？并确定相应的生产方案．

Answer 1

分析：（1）设每天生产M型x套，则N型为（80-x）套，有每种型号服装的用料情况，以及总成本的上限可列三个不等式，解之得x的范围，从而求解．
（2）方案一：由题意列出W₁的表达式再根据20≤x≤40，转化为求函数最值问题．
方案二：有一次函数图象可求出函数关系式为y=-2x+240，即W₂=（120-80）（80-x）+（-2x+240-100）x=-2（x-25）²+4450转化为求函数最值问题，最后比较两方案，找到可以获得最大利润，从而求解．

解答：解：（1）设每天生产M型x套，则N型为（80-x）套，有每种型号服装的用料情况，以及总成本的上限可列三个不等式，
即依题意有

1.1x+0.6(80-x)≤68 0.4x+0.9(80-x)≤60 100x+80(80-x)≤7200

，
解之得20≤x≤40，
∴该厂每天生产M型服装最多40套，最少20套；

（2）设方案Ⅰ所获利润为W₁元，方案Ⅱ所获利润为W₂元，
∴W₁=（180-100）x+（120-80）（80-x）
=40x+3200，
∵k=40＞0，W₁随x的增大而增大，
又∵20≤x≤40，
∴当x=40时，W₁最大=4800，
由图可知y=-2x+240，
∴W₂=（120-80）（80-x）+（-2x+240-100）x
=-2x²+100x+3200
=-2（x-25）²+4450，
∵a=-2＜0，
∴当x=25时，W₂最大=4450，
∵4800＞4450，
∴选方案Ⅰ可以获得最大利润，最大利润为4800元，
生产方案：生产M型40套，N型40套．

点评：此题主要考查了二次函数的性质及应用，还考查不等式的性质，两种方案，选择利润最大化，可将其转化为求函数最值问题，此题难易程度适中．