Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．

（1）求证：△ADE≌△CDB；

（2）若BC＝1，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据等边三角形的性质,三边相等,各角为60°,与直角三角形的性质,和斜边上的中线等于斜边的一半的定理,可得AE＝DE＝DB＝BC，∠DBC＝∠AED＝120°,即可证明.

（2）根据轴对称的性质和两点之间线段最短的公理,做出B点关于AC的对称点B′, 连接B′E,通过计算求出即可.

如图：

（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴BC＝AB．∠ABC＝60°．

∵E为AB边的中点，

∴AE＝BE，

∵△BDE是等边三角形，

∴BE＝BD＝DE，∠DBE＝∠DEB＝60°，

∴AE＝DE＝DB＝BC，∠DBC＝∠AED＝120°，

∴△ADE≌△CDB（SAS）．

（2）作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于点H，

此时BH＝B′H，B′E＝B′H+HE＝BH+HE最小．

∵BC＝1，BB′＝2，∴B′H＝．

答：这个最小值为．