Question

【题目】如图,D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,BC=6,AD:BD=2:3,求BE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠ODB=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠ODB，于是∠CDA+∠ADO=90°；

（2）根据已知条件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性质得到，求得CD=4，由切线的性质得到BE=DE，BE⊥BC根据勾股定理列方程即可得到结论．

试题解析：（1）证明：连结OD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠BDO，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠CDA=∠ODB，

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ADO+∠CDA=90°，

即∠CDO=90°，

∴OD⊥CD，

∵OD是⊙O半径，

∴CD是⊙O的切线

（2）∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD

∴△CDA∽△CBD

∴

∵，BC=6，

∴CD=4，

∵CE，BE是⊙O的切线

∴BE=DE，BE⊥BC

∴BE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2

解得：BE=．