Question

5．已知等腰梯形ABCD中，AD+BC=18cm，sin∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AC与BD相交于点O，∠BOC=120°．求AB的长．

Answer 1

分析 作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，作DE∥AC交BC的延长线于E，则AN=AM，四边形ACED是平行四边形，得出DE=AC，CE=AD，由等腰梯形的性质得出AB=DC，AC=BD，得出BD=DE，BE=18cm，由SSS证明△ABC≌△DCB，得出∠OCB=∠OBC=30°，由等腰三角形的性质得出BM=CM=$\frac{1}{2}$BE=9cm，由三角函数得出AN=DM=3$\sqrt{3}$cm，再由三角函数即可得出AB的长．

解答 解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，作DE∥AC交BC的延长线于E，如图所示：
则AN=AM，四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC，CE=AD，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，AC=BD，
∴BD=DE，BE=BC+CE=AD+BC=18cm，
在△ABC和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}&{\;}\\{AC=DB}&{\;}\\{BC=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠OCB=∠OBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOC）=30°，
∵DM⊥BC，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BE=9cm，∠DMB=90°，
∴DM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BM=3$\sqrt{3}$cm，
∴AN=3$\sqrt{3}$cm，
∵sin∠ABC=$\frac{AN}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=$\sqrt{3}$AN=9cm．

点评 本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角函数、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．