Question

设关于x的二次方程（a-1）x²-（a²+a+1）x+2a²+a=0当a

 

时，此方程至少有一个正整数解；当a

 

时，此方程有两个正整数解；当a

 

时，此方程有两个负整数解．

Answer 1

分析：运用十字相乘法分解一元二次方程，然后得出方程的根，利用特殊值法可以解决方程有两个负整数解以及方程有两个正整数解的情况．

解答：解：原方程变形为[（a-1）x-（2a+1）]（x-a）=0
当a=1时，原方程只有一个根x=a；当a≠1时，其二根为x1=a，x2=

2a+1

a-1

，因此，
（1）当a为任何正整数时，方程至少有一个正整数根，
（2）要使方程二根均为正整数，由于x2=

2a+1

a-1

=

(2a-2)+3

a-1

=2+

3

a-1

，所以，当a为正整数，只要3能被a-1整除，则x₂是正整数，故只须取a=2或a=4即可，当a=2时，方程有两个正整数根x₁=2，x₂=5；
当a=4时，方程有两个正整数根x₁=4，x₂=3；
（3）当x₁=a为负整数时，由a-1＜0，2a+1＜0，∴x2=

2a+1

a-1

＞0，为正数，∴无论a取何值，方程两根不会是负整数．

点评：此题主要考查了十字相乘法解一元二次方程，综合性较强，难度较大，题目比较典型．